정수론의 신비한 세계
정수론의 신비한 세계
  • 성대신문
  • 승인 2015.06.03 18:18
  • 호수 1584
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정수론은 정수의 여러 가지 성질들을 연구하는 학문으로써, 크게는 소수에 대한 연구와 방정식의 정수해에 대한 연구로 나눌 수 있습니다. 소수는 양의 약수가 1과 자기 자신뿐인 1보다 큰 자연수로서, 소수의 개수가 무한히 많다는 사실은 기원전 300년경에 유클리드에 의해서 증명이 되었습니다. 유클리드의 아이디어는 다음과 같습니다. 어떤 유한개의 소수들 p1,p2,…,pn이 주어져 있을 때, 이들을 모두 곱한 후에 1을 더해서 얻어지는 수인 p1,p2…pn+1을 A라고 두면, 자연수 A의 소인수들은 p1,p2,…,pn과는 전혀 다른 새로운 소수들이 등장하게 됩니다. 이 아이디어를 적용하면, 소수의 개수가 무한히 많다는 사실을 증명할 수 있게 됩니다. 따라서 우리는 우리가 원하는 만큼 큰 소수를 얻을 수 있고, 예를 들어 크기가 100자리 이상인 소수들이 무수히 존재한다는 사실을 알 수 있습니다. 크기가 100자리 이상인 두 소수 p와 q가 주어져 있을 때, 이들을 서로 곱한 수를 N이라 두면, N은 약 200자리 이상의 자연수가 되고 컴퓨터를 사용하면 빠르고 쉽게 계산할 수 있습니다. 하지만 역으로, 어떤 두 소수의 곱이되는 200자리 이상의 자연수 N만 주어져 있을 때, 이를 구성하는 두 소수를 알아내는 것은 어려운 문제입니다. 실제로 전자상거래에 사용되는 RSA 공개키 암호는 이러한 소인수분해의 어려움에 기반을 두고 있습니다. 최근에는 컴퓨터의 발달로 인하여 소인수분해의 속도가 빨라짐에 따라서, RSA 암호의 안전성이 문제가 됨에 따라, 차세대 암호로서 타원곡선암호가 개발되고 있습니다. 
방정식의 정수해에 관한 연구의 예로서, 페르마의 마지막 정리를 들 수 있습니다. 페르마의 마지막 정리란, n이 3 이상의 정수일 때, 방정식 Xn+Yn=Zn의 자연수 해는 존재하지 않는다는 것입니다. 이 방정식의 양변을 Zn으로 나누어주면, (X/Z)n+(Y/Z)n=1이 되므로, x=X/Z, y=Y/Z 로 두면, 원래 문제는 xn+yn=1로 정의되는 대수곡선(algebraic curve)의 유리수점이 존재하지 않는다는 문제로 바뀌게 됩니다. 여기에서 n=2인 경우는, X2+Y2=Z2를 만족하는 자연수의 순서쌍 (X,Y,Z)를 피타고라스의 세 쌍이라고 부르며, (X,Y,Z)=(3,4,5),(5,12,13),(15,8,17) 등이 있습니다. 이 경우 X2+Y2=Z2와 관련되는 대수곡선인 x2+y2=1은 단위원이 되고, 이 단위원 위에는 무한히 많은 유리수점이 존재한다는 사실을 다음과 같이 보일 수 있습니다. 단위원 위의 한 유리수 점인 (-1,0)를 지나고 기울기가 유리수 m=v/u인 직선 y=m(x+1)과 단위원의 교점은 또 다른 유리수 점을 주게 되는데, 교점의 좌표를 구체적으로 쓰면 (x,y)=(u2-v2/u2+v2,2uv/u2+v2)이 되고 이로부터 매개변수 u,v로 매개화된 무수히 많은 피타고라스의 세 쌍 (X,Y,Z)=(u2-v2,2uv,u2+v2)을 얻을 수 있습니다. 하지만 n이 3 이상인 경우는 대수곡선 xn+yn=1이 종수(genus) 2 이상의 대수곡선이 되어, 기껏해야 유한개만의 유리수점을 갖게 된다는 것이 1986년 필즈상을 수상한 Faltings의 결과에 의해 밝혀졌습니다. 이 후 Frey는 만약 방정식 Xn+Yn=Zn이 해를 갖는다고 할 경우에, n의 소인수 p에 대해서 Ap+Bp=Cp이 되는 자연수 A,B,C가 존재하므로, 이러한 A,B에 대응하는 타원곡선 EA,B:y2=x(x+Ap)(x-Bp)를 생각하게 됩니다. 이 후 Ribet은 타원곡선 EA,B는 보형함수라고 불리는 복소변수 함수에 의해 매개화 될 수 없음을 보였고, Wiles는 유리수 위에서 정의된 타원곡선은 보형함수에 의해 매개화 될 수 있음을 보임으로서, 페르마의 마지막 정리를 증명하게 됩니다. 
제가 연구하는 분야 또한 보형함수 및 타원곡선과 관계된 연구로서, 보형함수의 산술성을 정수론 및 수학, 수리물리학의 여러 분야에 응용하는 것에 관심을 두고 연구를 해오고 있습니다. 앞으로 성균관대 학생 여러분들이 각자의 전공 분야에서 열정을 가지고 깊이있는 공부 및 연구를 하시기를 바라고, 이를 바탕으로 사회에 꼭 필요한 일꾼들이 되시기를 희망합니다.
 
▲ 김창현 수학과 교수

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